2019考研数学3，2019考研数学3解析
今天分享一下自己当时如何详细复习高数这门科目的，鉴于高数的知识点太多，今天写一下高数第一章函数与极限的复习思路。
首先，函数与极限这章包括了映射和函数、数列的极限、函数的极限、无穷大和无穷小等10个小节，内容繁多，因此我们需要一张思维导图帮助我们理清这章节的知识点中那一部分是重点难点，那部分是相对次要一些的知识点。
函数与极限知识点梳理
上图中红色部分是相对重要的知识点，考试考到的频率更高一些，黄色知识点相对简单，但不是说简单相对次要就一定不考，只是说复习的时候这部分可以快速一点，接下来主要讲一下红色重点部分的知识点。
1：数列极限的判断
收敛数列及其极限：一个数列如果有一个有限的极限，则称该数列是一个收敛数列，即 该极限就是该数列的极限。
方法如下：
数列极限判断
2：收敛数列的性质
唯一性：如果一个数列是收敛的，那么它的极限是唯一的。
有界性：收敛数列一定是有界的，即存在一个上界和下界，使得数列中的所有项都在这个界内。
保号性：收敛数列的极限如果是大于0的,那么存在正整数N,使得数列Xn中第N项之后的项都是大于0的，反之亦然。
传递性：如果数列an与数列bn都收敛，且它们的极限相同，即lim an = lim bn，则它们的和、差或积的极限也相同。
3：无穷大的常用性质
1）有限个无穷大相加不一定无穷大。
2）有限个同号无穷大相加、异号无穷大相减仍为无穷大。
3）无穷大加减有界变量仍为无穷大。
4）无穷大加减有极限的变量仍为无穷大。
5）有限个无穷大相乘仍为无穷大。
6）无穷大与极限非零的变量相乘仍为无穷大。
7）无穷大与绝对值有正下界的变量相乘仍为无穷大。
8）无穷大与非零无穷小的商仍为无穷大。
9）无穷大与极限非零的变量相除仍为无穷大。
10）无穷大与不等于零的有界变量相除仍为无穷大。
4：无穷小的常用性质（其他性质与无穷大相似）
1）有限个无穷小的和仍然是无穷小。
2）有限变量乘无穷小仍然是无穷小。
3）无限个无穷小之和不一定是无穷小。
5：极限存在准则和两个重要极限
准则一：夹逼准则
夹逼准则
准则二：单调有界准则
单调有界准则
重要极限一：
重要极限二：（结果为e，不知道为什么显示不全）
6：无穷小的比较
无穷小的比较
7：函数连续性判断
1） 如果函数y = f(x)在x0的某一邻域中有定义，并且若满足
，那么函数在该点就连续。
2）如果函数y = f(x)在x0的某一邻域中有定义，并且若满足， 那么称函数在该点连续
3）函数某点连续的充分必要条件是：左连续,右连续且极限值等于函数值。
8：函数间断点判断
有三种普遍类型如下：
1）x = x0处没有定义
2）虽然在x = x0有定义，但是不存在
3）虽然在x = x0有定义，并且存在，但是（中间是 不等于符号）
间断点类型：
间断点类型
9：反函数和复合函数连续性
反函数连续性：要求在定义域上具有单调性且处处可导，同时在值域上连续。只有在这 些条件同时满足的情况下，反函数才是连续的。其中，单调性是确保反函数存在的重要 条件，而可导性和值域连续性则是保证函数连续的重要条件。
复合函数连续性：要求在复合点处（即内部函数在外层函数的取值点处）连续。只有在 这个条件满足的情况下，复合函数才是连续的。若外层函数在其定义域上连续，且内部 函数在其定义域上连续，那么复合函数也必然在其定义域上连续。此外，当内部函数在 其定义域上连续，但外层函数在某个点上不连续，那么该点为复合函数不连续的点。
Tips: 当函数的定义域和值域是开区间、半开区间、无界区间时，需要特别注意边界处 的连续性问题。
10：有界性和最大值最小值定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值最小值。
有界性和最大值最小值定理
11：零点定理和介值定理
零点定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a) × f(b)<0），那 么在开区间（a，b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
零点定理
介值定理：如果定义域为[a,b]的连续函数f，那么在区间内的某点，它可以在f(a)和f(b) 之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大 值和最小值之间。
介值定理
以上便是我分享的关于函数与极限一章的内容经验，希望可以对考研学子起到一定帮助。今后我会继续分享其他的章节复习经验，希望多多关注一下，谢谢！
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