2021年数学考研真题，2021年数学考研真题及答案
大家好！本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这道题是2021年高考全国乙卷理科数学的第20题，题目考查了导数的计算、导数与函数的极值、利用导数证明不等式等知识。作为一道导数综合题，这道题的难度其实并不算大，只能算是一道中等题。
先看第一小问：求参数a的值。
在高中阶段，函数极值点处的导数值为0，我们就需要利用这一点来求a的值。
由f(x)=ln(a-x)知，y=xf(x)=xln(a-x)，则y’=ln(a-x)-x/(a-x)。由于x=0时是函数y的极值点，所以当x=0时，y’=0，从而解得：a=1。
再看第二小问：证明g(x)＜1。
由(1)知，a=1，即f(x)=ln(1-x)，则g(x)=[x+f(x)]/xf(x)=[x+ln(1-x)]/xln(1-x)，且g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1)。
要证g(x)＜1，这是一个分式不等式，所以我们可以想办法化为整式。由于当x＜0时，ln(1-x)＞0，所以xln(1-x)＜0；当0＜x＜1时，ln(1-x)＜0，所以xln(1-x)＜0。也就是说在定义域内，恒有xln(1-x)＜0，故两边同时乘以xln(1-x)就可以将g(x)＜1转化为x+ln(1-x)＞xln(1-x)，即x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0。
构造新函数h(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x)，其中x＜0或0＜x＜1。接下来只需要证明函数h(x)的最大值都小于零即可。对新函数求导，得到h'(x)=-ln(1-x)，当x＜0时，1-x＞0，则h'(x)=-ln(1-x)＜0，此时h(x)为减函数；当0＜x＜1时，0＜1-x＜1，则h'(x)=-ln(1-x)＞0，此时h(x)为增函数，所以有h(x)＞h(0)=0。从而证明出g(x)＜1。
另外，对于g(x)＜1这个分式不等式的处理，我们也可以先化成分式不等式的一般形式，即g(x)-1＜0，然后通分，整理得到[x+(1-x)ln(1-x)]/xln(1-x)＜0。此时不要直接分式化整式，还是先对分母进行讨论，从而变成证明x+(1-x)ln(1-x)＞0。后面的证明就和前面的一样了。
作为一道导数综合题，这道题的难度并不大，很多学霸都说是送分题。你觉得呢？
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