数据结构 考研，数据结构考研真题
一、直接插入排序
基本思想：
我们平时玩扑克牌时，摸牌阶段的排序就用到了插入排序的思想
- 1、当插入第n个元素时，前面的n-1个数已经有序
- 2、用这第n个数与前面的n-1个数比较，找到要插入的位置，将其插入（原来位置上的数不会被覆盖，因为提前保存了）
- 3、原来位置上的数据，依次后移
具体实现：
- ①单趟的实现（将x插入到 [0,end] 的有序区间）
即一般情况下的插入，我们随机列举了一些数字，待插入的数字分为两种情况
（1）待插入的数字是在前面有序数字的中间数，直接比较将x赋值给end+1位置 （2）x是最小的一个数，end就会到达-1的位置，最后直接将x赋值给end+1位置
- ②整个数组排序的实现
我们一开始并不知道数组是不是有序的，所以我们控制下标，end从0开始，将end+1位置的值始终保存到x中，循环进行单趟排序即可，最后结束时end=n-2，n-1位置的数字保存到x中
总体代码：
void InsertSort(int* a, int n){ assert(a); for (int i = 0; i < n - 1; ++i) { int end = i; int x=a[end+1];//将end后面的值保存到x里面了 //将x插入到[0，end]的有序区间 while (end >= 0) { if (a[end] > x) { a[end + 1] = a[end]; //往后挪动一位 --end; } else { break; } } a[end + 1] = x; //x放的位置都是end的后一个位置 }}
直接插入排序总结：
- ①元素越接近有序，直接插入排序的效率越高
- ②时间复杂度:O(N^2)
最坏的情况下，每次插入一个数字，前面的数字都要挪动一下，一共需要挪动1+2+3+……+n=n(n+1)/2
③空间复杂度：O(1)
没有借助额外的空间，只用到常数个变量
二、希尔排序 
基本思想：
- 1、先选定个小于n的数字作为gap，所有距离为gap的数分为一组进行预排序（直接插入排序）
- 2、再选一个小于gap的数，重复①的操作
- 3、当gap=1时，相当于整个数组就是一组，再进行一次插入排序即可整体有序
例如：
具体实现：
①单组排序
和前面的直接插入相同，就是把原来的间隔为1，现在变为gap了，每组分别进行预排序
②多组进行排序
③整个数组进行排序（控制gap）
多次预排序（gap>1）+ 一次插入排序（gap==1）
（1）gap越大，预排越快，越不接近于有序
（2）gap越小，预排越慢，越接近有序
结果就是：
总体代码：
void ShellSort(int* a, int n){ int gap = n; while (gap > 1) { gap /= 2; for (int i = 0; i < n - gap; i++) { int end = i; int x = a[end + gap]; while (end >= 0) { if (a[end] > x) { a[end + gap] = a[end]; end -= gap; } else { break; } } a[end + gap] = x; } }}
希尔排序总结：
- ①希尔排序是对直接插入排序的优化
- ②时间复杂度：O(N^1.3)
- ③空间复杂度：O(1)
三、选择排序 
基本思想：
每次从数组中选出最大的或者最小的，存放在数组的最右边或者最左边，直到全部有序
具体实现：
我们这里进行了优化，一次排序中，直接同时选出最大的数（a[maxi]）和最小的数（a[mini]）放在最右边和最左边，这样排序效率是原来的2倍
- ①单趟排序
找到最小的数字（a[mini]）和最大的数字（a[maxi]），将它们放在最左边和最右边
ps：其中的begin，end保存记录左右的下标，mini，maxi记录保存最小值和最大值的下标
- ②整个数组排序
begin++和end–这样下次就可以排剩下的n-2个数字，再次进行单趟，如此可构成循环，直到begin小于end
整体代码：
void SelectSort(int* a, int n){ int begin = 0,end = n - 1; while (begin a[maxi]) { maxi = i; } } Swap(&a[mini], &a[begin]); //当begin==maxi时，最大值会被换走，修正一下 if (begin==maxi) { maxi=mini; } Swap(&a[maxi], &a[end]); begin++; end--; }}
直接选择排序总结：
- ①直接选择排序很好理解，但实际效率不高，很少使用
- ②时间复杂度：O(N^2)
- ③空间复杂度：O(1)
四、堆排序 基本思想：
- 1、将待排序的序列构造成一个大堆，根据大堆的性质，当前堆的根节点（堆顶）就是序列中最大的元素；
- 2、将堆顶元素和最后一个元素交换，然后将剩下的节点重新构造成一个大堆；
- 3、重复步骤2，如此反复，从第一次构建大堆开始，每一次构建，我们都能获得一个序列的最大值，然后把它放到大堆的尾部。最后，就得到一个有序的序列了。
- 小结论： 排升序，建大堆 排降序，建小堆
具体实现：、
- ①向下调整算法
我们将给定的数组序列，建成一个大堆，建堆从根节点开始就需要多次的向下调整算法
堆的向下调整算法（使用前提）： （1）若想将其调整为小堆，那么根结点的左右子树必须都为小堆。 （2）若想将其调整为大堆，那么根结点的左右子树必须都为大堆。
向下调整算法的基本思想：
- 1、从根节点开始，选出左右孩子值较大的一个
- 2、如果选出的孩子的值大于父亲的值，那么就交换两者的值
- 3、将大的孩子看做新的父亲，继续向下调整，直到调整到叶子节点为止
//向下调整算法//以建大堆为例void AdJustDown(int* a, int n, int parent){ int child = parent * 2 + 1; //默认左孩子较大 while (child < n) { if (child + 1 < n && a[child+1] > a[child ])//如果这里右孩子存在， //且更大，那么默认较大的孩子就改为右孩子 { child++; } if(a[child]>a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } }}
- ②建堆（将给定的任意数组建成大堆）
建堆思想： 从倒数第一个非叶子节点开始，从后往前，依次将其作为父亲，依次向下调整，一直调整到根的位置
建堆图示：
//最后一个叶子结点的父亲为i，从后往前，依次向下调整，直到调到根的位置 for (int i = (n - 1 - 1) / 2;i>=0;--i) { AdJustDown(a,n,i); }
- ③堆排序（利用堆删的思想进行）
堆排序的思想： 1、建好堆之后，将堆顶的数字与最后一个数字交换 2、将最后一个数字不看，剩下的n-1个数字再向下调整成堆再进行第1步 3、直到最后只剩一个数停止，这样就排成有序的了
for (int end = n - 1; end > 0; --end) { Swap(&a[end],&a[0]); AdJustDown(a,end,0); }
整体代码如下：
void AdJustDown(int* a, int n, int parent) { int child = parent * 2 + 1; while (child < n) { if (child + 1 < n && a[child+1] > a[child ]) { child++; } if(a[child]>a[parent]) { Swap(&a[child], &a[parent]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } else { break; } } } //堆排序 void HeapSort(int*a,int n) { for (int i = (n - 1 - 1) / 2;i>=0;--i) { AdJustDown(a,n,i); } for (int end = n - 1; end > 0; --end) { Swap(&a[end],&a[0]); AdJustDown(a,end,0); } } 五、冒泡排序 
冒泡排序的基本思想：
一趟过程中，前后两个数依次比较，将较大的数字往后推，下一次只需要比较剩下的n-1个数，如此往复
//优化版本的冒泡排序 void BubbleSort(int* a, int n) { int end = n-1; while (end>0) { int exchange = 0; for (int i = 0; i < end; i++) { if (a[i] > a[i + 1]) { Swap(&a[i], &a[i + 1]); exchange = 1; } } if (exchange == 0)//单趟过程中，若没有交换过，证明已经有序，没有必要再排序 { break; } end--; } }
冒泡排序总结：
- ①非常容易理解的排序
- ②时间复杂度:O(N^2)
- ③空间复杂度:O(1)
六、快速排序 
递归版本
1、hoare版本
hoare的单趟思想： 1、左边作key，右边先走找到比key小的值 2、左边后走找到大于key的值 3、然后交换left和right的值 4、一直循环重复上述1 2 3步 5、两者相遇时的位置，与最左边选定的key值交换 这样就让key到达了正确的位置上
动图演示：
//hoare版本 //单趟排序 让key到正确的位置上 keyi表示key的下标，并不是该位置的值 int partion1(int* a, int left, int right) { int keyi = left;//左边作keyi while (left < right) { //右边先走，找小于keyi的值 while (left < right && a[right] >= a[keyi]) { right--; } //左边后走，找大于keyi的值 while (left < right && a[left] <= a[keyi]) { left++; } Swap(&a[left], &a[right]); } Swap(&a[left], &a[keyi]); return left; } void QuickSort(int* a, int left, int right) { if (left >= right) return; int keyi = partion1(a, left, right); //[left,keyi-1] keyi [keyi+1,right] QuickSort(a, left, keyi - 1); QuickSort(a, keyi + 1, right); } 2、挖坑法
其实本质上是hoare的变形
挖坑法单趟思想： 1、先将最左边第一个数据存放在临时变量key中，形成一个坑位 2、右边先出发找到小于key的值，然后将该值丢到坑中去，此时形成一个新坑位 3、左边后出发找到大于key的值，将该值丢入坑中去，此时又形成一个新的坑位 4、一直循环重复1 2 3步 5、直到两边相遇时，形成一个新的坑，最后将key值丢进去 这样key就到达了正确的位置上了
动图演示：
//挖坑法 int partion2(int* a, int left, int right) { int key = a[left]; int pit = left; while (left < right) { while (left < right && a[right] >= key) { right--; } a[pit] = a[right];//填坑 pit=right; while (left < right && a[left] <= key) { left++; } a[pit] = a[left];//填坑 pit=left; } a[pit] = key; return pit; } void QuickSort(int* a, int left, int right) { if (left >= right) return; int keyi = partion2(a, left, right); //[left,keyi-1] keyi [keyi+1,right] QuickSort(a, left, keyi - 1); QuickSort(a, keyi + 1, right); } 3、前后指针法（推荐这种写法）
前后指针的思想：
1、初始时选定prev为序列的开始，cur指针指向prev的后一个位置，同样选择最左边的第一个数字作为key 2、cur先走，找到小于key的值，找到就停下来 3、++prev 4、交换prev和cur为下标的值 5、一直循环重复2 3 4步，停下来后，最后交换key和prev为下标的值
这样key同样到达了正确的位置
动图演示：
int partion3(int* a, int left, int right)
{
int prev = left;
int cur = left + 1;
int keyi = left;
while (cur <= right)
{
if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)//prev != cur 防止cur和prev相等时，相当于自己和自己交换，可以省略
{ //前置 ++ 的优先级大于 != 不等于的优先级
Swap(&a[prev], &a[cur]);
}
++cur;
}
Swap(&a[keyi], &a[prev]);
return prev;
}
void QuickSort(int* a, int left, int right)
{
if (left >= right)
return;
int keyi = partion3(a, left, right);
//[left,keyi-1] keyi [keyi+1,right]
QuickSort(a, left, keyi – 1);
QuickSort(a, keyi + 1, right);
}
递归展开图
快速排序的优化
1、三数取中法
快速排序对于数据是敏感的，如果这个序列是非常无序，杂乱无章的，那么快速排序的效率是非常高的，可是如果数列有序，时间复杂度就会从O(N*logN)变为O(N^2)，相当于冒泡排序了
若每趟排序所选的key都正好是该序列的中间值，即单趟排序结束后key位于序列正中间，那么快速排序的时间复杂度就是O(NlogN)
但是这是理想情况，当我们面对一组极端情况下的序列，就是有序的数组，选择左边作为key值的话，那么就会退化为O(N^2)的复杂度，所以此时我们选择首位置，尾位置，中间位置的数分别作为三数，选出中间位置的数，放到最左边，这样选key还是从左边开始，这样优化后，全部都变成了理想情况
//快排的优化 //三数取中法 int GetMidIndex(int* a, int left, int right) { int mid = (left + right) / 2; if (a[left] < a[right]) { if (a[mid] < a[right]) { return mid; } else if (a[mid] > a[right]) { return right; } else { return left; } } else { if (a[mid] > a[left]) { return left; } else if (a[mid] < a[right]) { return right; } else { return mid; } } } int partion5(int* a, int left, int right) { //三数取中,面对有序时是最坏的情况O(N^2)，现在每次选的key都是中间值，变成最好的情况了 int midi = GetMidIndex(a, left, right); Swap(&a[midi], &a[left]);//这样还是最左边作为key int prev = left; int cur = left + 1; int keyi = left; while (cur <= right) { if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)//prev != cur 防止cur和prev相等时，相当于自己和自己交换，可以省略 { //前置 ++ 的优先级大于 != 不等于的优先级 //++prev; Swap(&a[prev], &a[cur]); } ++cur; } Swap(&a[keyi], &a[prev]); return prev; } 2、递归到小子区间
随着递归深度的增加，递归次数以每层2倍的速度增加，这对效率有着很大的影响，当待排序序列的长度分割到一定大小后，继续分割的效率比插入排序要差，此时可以使用插排而不是快排
我们可以当划分区间长度小于10的时候，用插入排序对剩下的数进行排序
//小区间优化法，可以采用直接插入排序 void QuickSort(int* a, int left, int right) { if (left >= right) return; if (right - left + 1 < 10) { InsertSort(a + left, right - left + 1); } else { int keyi = partion5(a, left, right); //[left,keyi-1] keyi [keyi+1,right] QuickSort(a, left, keyi - 1); QuickSort(a, keyi + 1, right); } } 非递归版本
递归的算法主要是在划分子区间，如果要非递归实现快排，只要使用一个栈来保存区间就可以了。一般将递归程序改成非递归首先想到的就是使用栈，因为递归本身就是一个压栈的过程。
非递归的基本思想： 1. 申请一个栈，存放排序数组的起始位置和终点位置。 2. 将整个数组的起始位置和终点位置入栈。 3. 由于栈的特性是：后进先出，right后进栈，所以right先出栈。 定义一个end接收栈顶元素，出栈操作、定义一个begin接收栈顶元素，出栈操作。 4. 对数组进行一次单趟排序，返回key关键值的下标。 5. 这时候需要排基准值key左边的序列。 如果只将基准值key左边序列的起始位置和终点位置存入栈中，等左边排序完将找不到后边的区间。所以先将右边序列的起始位置和终点位置存入栈中，再将左边的起始位置和终点位置后存入栈中。 6.判断栈是否为空，若不为空 重复4、5步、若为空则排序完成。
void QuickSortNonR(int* a, int left, int right) { Stack st; StackInit(&st); StackPush(&st,left); StackPush(&st, right); while (!StackEmpty(&st)) { int end = StackTop(&st); StackPop(&st); int begin = StackTop(&st); StackPop(&st); int keyi = partion5(a,begin,end); //区间被成两部分了 [begin,keyi-1] keyi [keyi+1,end] if (keyi + 1 < end) { StackPush(&st,keyi+1); StackPush(&st,end); } if (keyi-1>begin) { StackPush(&st, begin); StackPush(&st, keyi -1); } } StackDestroy(&st); }
快速排序的总结：
- ①快排的整体综合性能和使用场景都是比较好的，所以才敢叫快速排序
- ②快排唯一死穴，就是排一些有序或者接近有序的序列，例如 2,3,2,3,2,3,2,3这样的序列时，会变成O(N^2)的时间复杂度
- ③时间复杂度O(N*logN)
- ④空间复杂度O(logN)
七、归并排序 
归并排序的基本思想（分治思想）：
- 1、（拆分）将一段数组分为左序列和右序列，让他们两个分别有序，再将左序列细分为左序列和右序列，如此重复该步骤，直到细分到区间不存在或者只有一个数字为止
- 2、（合并）将第一步得到的数字合并成有序区间
具体实现：
- ①拆分
- ②合并
递归实现：
从思想上来说和二叉树很相似，所以我们可以用递归的方法来实现归并排序
代码如下：
void _MergeSort(int* a, int left, int right, int* tmp) { if (left >= right) { return; } int mid = (left + right) / 2; _MergeSort(a, left, mid, tmp); _MergeSort(a, mid+1, right, tmp); int begin1 = left, end1 = mid; int begin2 = mid + 1, end2 = right; int i = left; while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[i++] = a[begin1++]; } else { tmp[i++] = a[begin2++]; } } while (begin1 <= end1) { tmp[i++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[i++] = a[begin2++]; } for (int j = left; j <= right; j++) { a[j] = tmp[j]; } } //归并排序 void MergeSort(int* a, int n) { int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*n); if (tmp == NULL) { printf("malloc fail\n"); exit(-1); } _MergeSort(a,0,n-1,tmp); free(tmp); tmp = NULL; } 非递归实现：
我们知道，递归实现的缺点就是会一直调用栈，而栈内存往往是很小的。所以，我们尝试着用循环的办法去实现
由于我们操纵的是数组的下标，所以我们需要借助数组，来帮我们存储上面递归得到的数组下标，和递归的区别就是，递归要将区间一直细分，要将左区间一直递归划分完了，再递归划分右区间，而借助数组的非递归是一次性就将数据处理完毕，并且每次都将下标拷贝回原数组
归并排序的基本思路是将待排序序列a[0…n-1]看成是n个长度为1的有序序列，将相邻的有序表成对归并，得到n/2个长度为2的有序表；将这些有序序列再次归并，得到n/4个长度为4的有序序列；如此反复进行下去，最后得到一个长度为n的有序序列。
但是我们这是理想情况下（偶数个），还有特殊的边界控制，当数据个数不是偶数个时，我们所分的gap组，势必会有越界的地方
第一种情况：
第二种情况：
代码如下：
void MergeSortNonR(int* a, int n) { int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int)*n); if (tmp == NULL) { printf("malloc fail\n"); exit(-1); } int gap = 1; while (gap < n) { for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap) { // [i,i+gap-1] [i+gap,i+2*gap-1] int begin1 = i, end1 = i + gap - 1; int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1; // 核心思想：end1、begin2、end2都有可能越界 // end1越界 或者 begin2 越界都不需要归并 if (end1 >= n || begin2 >= n) { break; } // end2 越界，需要归并，修正end2 if (end2 >= n) { end2 = n- 1; } int index = i; while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2) { if (a[begin1] < a[begin2]) { tmp[index++] = a[begin1++]; } else { tmp[index++] = a[begin2++]; } } while (begin1 <= end1) { tmp[index++] = a[begin1++]; } while (begin2 <= end2) { tmp[index++] = a[begin2++]; } // 把归并小区间拷贝回原数组 for (int j = i; j <= end2; ++j) { a[j] = tmp[j]; } } gap *= 2; } free(tmp); tmp = NULL; }
归并排序的总结：
- ①缺点是需要O(N)的空间复杂度，归并排序更多的是解决磁盘外排序的问题
- ②时间复杂度:O(N*logN)
- ③空间复杂度:O(N)
八、计数排序
又叫非比较排序，又称为鸽巢原理，是对哈希直接定址法的变形应用
基本思想：
- 1、统计相同元素出现的个数
- 2、根据统计的结果，将数据拷贝回原数组
具体实现：
- ①统计相同元素出现的个数
对于给定的任意数组a，我们需要开辟一个计数数组count，a[i]是几，就对count数组下标是几++
这里我们用到了绝对映射，即a[i]中的数组元素是几，我们就在count数组下标是几的位置++，但是对于数据比较聚集，不是从较小的数字开始，例如1001,1002,1003,1004这样的数据，我们就可以用到相对映射的方法，以免开辟数组空间的浪费，count数组的空间大小我们可以用a数组中最大值减去最小值+1来确定（即：range=max-min+1）,我们可以得到count数组下标 j =a[i]-min
- ②根据count数组的结果，将数据拷贝回a数组
count[j]中数据是几，说明该数出现了几次，是0就不用拷贝
代码如下：
void CountSort(int* a, int n) { int min = a[0], max = a[0];//如果不赋值，min和max就是默认随机值，最好给赋值一个a[0] for (int i=1;imax) { max=a[i]; } } int range = max - min + 1;//控制新开数组的大小，以免空间浪费 int* count = (int*)malloc(sizeof(int) * range); memset(count,0, sizeof(int) * range);//初始化为全0 if (count==NULL) { printf("malloc fail\n"); exit(-1); } //1、统计数据个数 for (int i=0;i
计数排序总结：
①在数据范围比较集中时，效率很高，但是使用场景很有限，可以排负数，但对于浮点数无能为力②时间复杂度：O(MAX(N,range))③空间复杂度：O(range)
八大排序的稳定性总结：
稳定的排序有：直接插入排序、冒泡排序、归并排序
不稳定的排序有：希尔排序、选择排序、堆排序、快速排序、计数排序
数据结构 考研(数据结构考研参考)