零矩阵的秩是多少 矩阵有一列全为零矩阵的秩是多少

很多朋友对于零矩阵的秩是多少和矩阵有一列全为零矩阵的秩是多少不太懂，今天就由小编来为大家分享，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

一、关于矩阵平方零矩阵与秩的关系

A^2=零矩阵，说明f(x)=x^2是A的一个化零多项式，于是A的特征值只能是0（化零多项式的根）。

设Jondan标准型为J，则J的主对角线元素就是全0。接下来确定Jondan块的阶数：

易得：Jondan块最高为二阶。否则J^2不会等于零矩阵，那么rank(A^2)=rank(J^2)也不会为0，与题意矛盾。

得出结论：A的Jondan标准型是“特征值为0，最高不超过2阶的Jondan型矩阵”。

很显然，rank(A)最小可以是0，即A是零矩阵，符合题意。

n为偶数，且所有Jondan块都是二阶。也就是J=

此时rank(A)达到最大，rank(A)=rank(J)=n/2.

二、零矩阵的秩是0么

1、零矩阵的秩是0，非零矩阵的秩>0。

2、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

3、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

4、(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

5、m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

6、设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

7、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

8、例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

9、参考资料：百度百科——矩阵的秩

三、秩等于0的矩阵一定是零矩阵吗

1、向量组的秩等于零意味着这个矩阵是零矩阵。矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。

2、参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。

3、矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩－零化度定理声称它等于f的像的维度。

4、（1）m×n的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的和为 A+ O= O+ A= A，差为 A- O= A，O- A=-A。

5、（2）l×m的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的积 OA为 l×n的零矩阵。

6、（3）l×m的任意矩阵 B和 m×n的零矩阵 O的积 BO为 l×n的零矩阵。

四、如何判断一个矩阵的秩是否为零

1、A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有

2、右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

3、所以，r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

4、A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

5、若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m，n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

6、由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵，det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

7、由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

五、两个矩阵的乘积为零 它们的 秩有什么关系

我们假定A是在域F上的m×n矩阵并描述了上述线性映射。

只有零矩阵有秩 0A的秩最大为 min(m,n)f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“满列秩”）。

f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“满行秩”）。

在方块矩阵A（就是m=n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。如果B是任何n×k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。

即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B))推广到若干个矩阵的情况。

就是：秩（A1A2…Am)≤min（秩（A1），秩（A2），…秩（Am))证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f和g，则秩（AB)表示复合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。

然而Im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。

对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑Im g的一组基：（e1，e2，…，en），容易证明（f(e1），f(e2），…，f(en））生成了空间Im f·g，于是Im f·g的维度小于等于Im g的维度。

对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。

作为”<“情况的一个例子，考虑积两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时A是满秩的。

于是有以下性质：如果B是秩n的n×k矩阵，则AB有同A一样的秩。如果C是秩m的l×m矩阵，则CA有同A一样的秩。A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m×m矩阵X和一个可逆的n×n矩阵Y使得这里的 Ir指示r×r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。

OK，关于零矩阵的秩是多少和矩阵有一列全为零矩阵的秩是多少的内容到此结束了，希望对大家有所帮助。

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