2021年数学考研参考(2021年数学考研参考及答案)




2021年数学考研真题,2021年数学考研真题及答案

大家好!本文和大家分享一道2021年高考数学真题。这道题是2021年高考全国乙卷理科数学的第20题,题目考查了导数的计算、导数与函数的极值、利用导数证明不等式等知识。作为一道导数综合题,这道题的难度其实并不算大,只能算是一道中等题。

先看第一小问:求参数a的值。

在高中阶段,函数极值点处的导数值为0,我们就需要利用这一点来求a的值。

由f(x)=ln(a-x)知,y=xf(x)=xln(a-x),则y’=ln(a-x)-x/(a-x)。由于x=0时是函数y的极值点,所以当x=0时,y’=0,从而解得:a=1。

再看第二小问:证明g(x)<1。

由(1)知,a=1,即f(x)=ln(1-x),则g(x)=[x+f(x)]/xf(x)=[x+ln(1-x)]/xln(1-x),且g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1)。

要证g(x)<1,这是一个分式不等式,所以我们可以想办法化为整式。由于当x<0时,ln(1-x)>0,所以xln(1-x)<0;当0<x<1时,ln(1-x)<0,所以xln(1-x)<0。也就是说在定义域内,恒有xln(1-x)<0,故两边同时乘以xln(1-x)就可以将g(x)<1转化为x+ln(1-x)>xln(1-x),即x+ln(1-x)-xln(1-x)>0。

构造新函数h(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x),其中x<0或0<x<1。接下来只需要证明函数h(x)的最大值都小于零即可。对新函数求导,得到h'(x)=-ln(1-x),当x<0时,1-x>0,则h'(x)=-ln(1-x)<0,此时h(x)为减函数;当0<x<1时,0<1-x<1,则h'(x)=-ln(1-x)>0,此时h(x)为增函数,所以有h(x)>h(0)=0。从而证明出g(x)<1。

另外,对于g(x)<1这个分式不等式的处理,我们也可以先化成分式不等式的一般形式,即g(x)-1<0,然后通分,整理得到[x+(1-x)ln(1-x)]/xln(1-x)<0。此时不要直接分式化整式,还是先对分母进行讨论,从而变成证明x+(1-x)ln(1-x)>0。后面的证明就和前面的一样了。

作为一道导数综合题,这道题的难度并不大,很多学霸都说是送分题。你觉得呢?

发布于:江西省

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